Es gibt zwei Arten von Zahlen und zwar sind dies exakte Zahlen (z.B. 2 Schuhe) und ungenaue Zahlen (z.B. wenn etwas ausgemessen wird und herauskommt, dass es 11,5 cm sind. Es könnte bei genauerer Messung 11,54 cm sein.).
Was ist eine signifikante Zahl?
Die Anzahl der signifikanten Ziffern in einem Ergebnis ist einfach die Anzahl der Ziffern, die mit einer gewissen Zuverlässigkeit bekannt sind.
Bei der Zahl 15,4 spricht man von 3 signifikanten Zahlen. Die Zahl 15,40 hat 4 signifikante Stellen.
Regeln zur Bestimmung der Anzahl der signifikanten Ziffern einer Messgröße:
- Alle Ziffern, die nicht Null sind, sind signifikant: 5,234 g hat 4 signifikante Ziffern, 5,3 g hat 2 signifikante Ziffern.
- Nullen zwischen den Ziffern, die keine Nullen sind, sind signifikant: 5009 kg hat 4 signifikante Ziffern.
- Nullen links von den ersten Nicht-Null-Ziffern sind nicht signifikant; solche Nullen geben lediglich die
- Position des Dezimalkommas an: 0,072 g hat 2 signifikante Stellen.
- Nullen rechts vom Dezimalpunkt einer Zahl sind signifikant: 0,500 g hat 3 signifikante Stellen.
Wenn eine Zahl mit Nullen endet, die nicht rechts von einem Dezimalpunkt stehen, sind die Nullen nicht
nicht unbedingt signifikant: 70.800 Kalorien können 3, 4 oder 5 signifikante Zahlen sein. Die
Zweideutigkeit der letzten Regel kann durch die Verwendung der exponentiellen oder „wissenschaftlichen“ Notation vermieden werden.
Notation. Je nachdem, ob 3, 4 oder 5 signifikante Ziffern korrekt sind, könnten wir zum Beispiel schreiben
708.000 Kalorien als:
7,08 × 10 hoch 5 (3 signifikante Zahlen)
7,080 × 10 hoch 5 (4 signifikante Ziffern), oder
7,0800 × 10 hoch 5 (5 signifikante Ziffern).
Es ist übrigens auch im Internet möglich, signifikante Zahlen zu berechnen.
Was ist eine exakte Zahl?
Einige Zahlen sind exakt, weil sie mit völliger Sicherheit bekannt sind. Bei den meisten exakten Zahlen handelt es sich um ganze Zahlen: Ein Fuß hat genau 34 cm, in einer Klasse gibt es genau 31 Schüler. Exakte Zahlen finden sich häufig als Umrechnungsfaktoren oder als Anzahl von Objekten.
Bei exakten Zahlen kann man davon ausgehen, dass sie eine unendliche Anzahl von signifikanten Zahlen haben. Daher kann die Anzahl der scheinbar signifikanten Ziffern in einer exakten Zahl als ein begrenzender Faktor bei der Bestimmung der Anzahl der signifikanten Ziffern im Ergebnis einer Berechnung ignoriert werden.
Regeln für mathematische Operationen
Bei der Durchführung von Berechnungen gilt die allgemeine Regel, dass die Genauigkeit eines Rechenergebnisses begrenzt ist durch
die am wenigsten genaue Messung, die an der Berechnung beteiligt ist.
Bei der Addition und Subtraktion wird das Ergebnis auf die letzte gemeinsame Ziffer gerundet, die in allen Komponenten am weitesten rechts steht.
die in allen Komponenten am weitesten rechts steht. Beispiel: 200 (3 signifikante Stellen angenommen) + 24,643 (5 signifikante
Ziffern) = 224,643, was auf 225 (3 signifikante Ziffern) gerundet werden sollte.
Bei der Multiplikation und Division ist das Ergebnis so zu runden, dass es die gleiche Anzahl wie die Komponente mit der geringsten Anzahl signifikanter Ziffern hat. Zum Beispiel: 3,0
mal (2 signifikante Ziffern) 12,60 (4 signifikante Ziffern) = 37,8000, das auf 38 (2 signifikante Nummern) gerundet wird.
Merke: Die ungenauere Zahl (die mit weniger signifikanten Zahlen) ist maßgebend bei der Rechung. Rechnet man mit mehr signifikanten Stellen weiter, ist das Ergebnus ungenau.
Richtlinien für die Verwendung von Taschenrechnern
Wenn Sie bei der Verwendung eines Taschenrechners eine lange Rechnung komplett durchrechnen, ohne Zwischenergebnisse aufzuschreiben, können Sie möglicherweise nicht erkennen, ob ein Fehler gemacht wurde, und selbst wenn Sie feststellen, dass ein Fehler aufgetreten ist. Selbst wenn Sie einen Fehler bemerken, können Sie nicht feststellen, wo der Fehler liegt.
Führen Sie bei einer langen Berechnung mit gemischten Operationen so viele Ziffern wie möglich durch die gesamte Reihe von Berechnungen und runden Sie das Endergebnis entsprechend.
Bei vielen mathematischen Operationen in der Statistik ist es wichtig, dass vor dem Runden alle Ziffern bis zum Endergebnis durchgezogen werden.
Operationen in der Statistik. Das Runden von Zwischenergebnissen bei der Berechnung von Quadratsummen kann die Genauigkeit des Ergebnisses ernsthaft beeinträchtigen. Man sollte also unbeding genau rechnen und mit dem Taschenrechner keine Fehler machen, um ein gutes Ergebnis zu bekommen. Dann ist der Erfolg ganz nah.